Vraag:
Verband tussen poisson en exponentiële distributie
user862
2010-08-25 13:33:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

De wachttijden voor poissonverdeling is een exponentiële verdeling met parameter lambda. Maar ik begrijp het niet. Poisson modelleert bijvoorbeeld het aantal aankomsten per tijdseenheid. Hoe is dit gerelateerd aan exponentiële distributie? Laten we zeggen dat de kans op k aankomsten in een tijdseenheid P (k) is (gemodelleerd door poisson) en de kans op k + 1 is P (k + 1), hoe modelleert exponentiële verdeling de wachttijd tussen hen?

Een Poisson * distributie * kent geen wachttijden.Die zijn een eigenschap van een Poisson-proces.
Zie ook [hier] (http://www.csee.usf.edu/~kchriste/tools/poisson.pdf), een betere uitleg over het verschil tussen deze twee verdelingen.
Vijf antwoorden:
#1
+82
user28
2010-08-25 14:43:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ik zal de volgende notatie gebruiken om zo consistent mogelijk te zijn met de wiki (voor het geval je heen en weer wilt gaan tussen mijn antwoord en de wiki-definities voor de poisson en exponentiële.)

$ N_t $: het aantal aankomsten gedurende de periode $ t $

$ X_t $: de tijd die het duurt voordat een extra aankomst arriveert, ervan uitgaande dat iemand arriveerde op tijd $ t $

Per definitie zijn de volgende voorwaarden equivalent:

$ (X_t > x) \ equiv (N_t = N_ {t + x}) $

De gebeurtenis aan de linkerkant geeft de gebeurtenis weer dat niemand is aangekomen in het tijdsinterval $ [t, t + x] $, wat impliceert dat onze telling van het aantal aankomsten op tijdstip $ t + x $ is identiek aan de telling op tijd $ t $ wat de gebeurtenis aan de rechterkant is.

Volgens de complementregel hebben we ook:

$ P (X_t \ le x) = 1 - P (X_t > x) $

Gebruikmakend van de gelijkwaardigheid van de twee gebeurtenissen die we hierboven hebben beschreven, kunnen we het bovenstaande herschrijven als:

$ P (X_t \ le x ) = 1 - P (N_ {t + x} - N_t = 0) $

Maar,

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = P (N_x = 0) $

Met behulp van de poisson pmf het bovenstaande waar $ \ lambda $ het gemiddelde aantal aankomsten per tijdseenheid is en $ x $ a aantal tijdseenheden, vereenvoudigt tot:

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = \ frac {(\ lambda x) ^ 0} {0!} e ^ { - \ lambda x} $

dwz

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = e ^ {- \ lambda x} $

Vervanging in onze originele eqn, hebben we:

$ P (X_t \ le x) = 1 - e ^ {- \ lambda x} $

Het bovenstaande is de cdf van een exponentiële pdf.

Ok dit maakt het duidelijk. Exponentiële pdf kan worden gebruikt om wachttijden tussen twee opeenvolgende poissonhits te modelleren, terwijl poisson de kans op het aantal hits modelleert. Poisson is discreet terwijl exponentieel continue distributie is. Het zou interessant zijn om een ​​echt voorbeeld te zien waarin de twee tegelijkertijd in het spel komen.
Huh?is $ t $ een ** moment ** in de tijd of een ** periode ** in de tijd?
Merk op dat een poissonverdeling niet automatisch een exponentiële pdf impliceert voor wachttijden tussen gebeurtenissen.Dit geldt alleen voor situaties waarin u weet dat er een vergiftigingsproces aan het werk is.Maar je zou het bestaan van de poissonverdeling EN het bestaan van een exponentiële pdf moeten bewijzen om te laten zien dat een poissonproces een geschikt model is!
@CodyBugstein Both: ze zijn in deze context onderling uitwisselbaar.Aankomsten zijn onafhankelijk van elkaar, wat betekent dat het niet uitmaakt wat de tijdsverschuiving is.De periode van tijd "0" tot tijd "t" is gelijk aan elke tijdsperiode met lengte "t".
@user862: Het is precies analoog aan de relatie tussen frequentie en golflengte.Langere golflengte;lagere frequentie analoog aan: langere wachttijd;lagere verwachte aankomsten.
@CodyBugstein Wanneer t een "tijdsperiode" is, is dit het interval [0, t], d.w.z. de periode van moment 0 tot moment t.
#2
+40
George Dontas
2010-08-25 15:58:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Voor een Poisson-proces komen treffers willekeurig voor, onafhankelijk van het verleden, maar met een bekend langetermijngemiddelde $ \ lambda $ van treffers per tijdseenheid. De Poisson-verdeling zou ons de kans geven om een ​​bepaald aantal treffers te krijgen.

Nu kijken we in plaats van naar het aantal treffers naar de willekeurige variabele $ L $ (voor Lifetime), de tijd die u moet wachten op de eerste treffer.

De kans dat de wachttijd meer is dan een bepaalde tijdswaarde is $ P (L \ gt t) = P (\ text {geen treffers in de tijd t}) = \ frac {\ Lambda ^ 0e ^ {- \ Lambda}} {0!} = e ^ {- \ lambda t} $ (door de Poisson-verdeling, waarbij $ \ Lambda = \ lambda t $ ).

$ P (L \ le t) = 1 - e ^ {- \ lambda t} $ (de cumulatieve verdelingsfunctie). We kunnen de dichtheidsfunctie krijgen door de afgeleide hiervan te nemen:

$$ f (t) = \ begin {cases} \ lambda e ^ {- \ lambda t} & \ mbox {for} t \ ge 0 \\ 0 & \ mbox {for} t \ lt 0 \ end {cases} $$

Elke willekeurige variabele met een dichtheid functie als deze wordt exponentieel verdeeld.

Ik heb genoten van de $ P (L> t) = P $ * (geen hits in tijd t) * uitleg. Dit was logisch voor mij.
Een ander punt, 1 tijdseenheid heeft $ \ lambda $ hits, dus $ t $ tijdseenheden hebben $ \ lambda t $ hits.
#3
+6
user2024015
2017-08-11 06:51:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

De andere antwoorden verklaren de wiskunde goed. Ik denk dat het helpt om een ​​fysiek voorbeeld te overwegen. Als ik aan een Poisson-proces denk, kom ik altijd terug op het idee van passerende auto's op de weg. Lambda is het gemiddelde aantal auto's dat per tijdseenheid passeert, laten we zeggen 60 / uur (lambda = 60). We weten echter dat het werkelijke aantal zal variëren - sommige dagen meer, andere dagen minder. De Poisson-verdeling stelt ons in staat om deze variabiliteit te modelleren.

Nu komt gemiddeld 60 auto's per uur overeen met gemiddeld 1 auto per minuut. Maar nogmaals, we weten dat er variabiliteit zal zijn in de tijd tussen aankomsten: soms meer dan 1 minuut; andere keren minder. De exponentiële verdeling stelt ons in staat om deze variabiliteit te modelleren.

Dat gezegd hebbende, passerende auto's op de weg volgen niet altijd een Poisson-proces. Als er bijvoorbeeld een verkeerslicht om de hoek is, zullen de aankomsten opeengestapeld zijn in plaats van stabiel. Op een open snelweg kan een langzame trekker-oplegger een lange rij auto's tegenhouden, waardoor er weer opeenhoping ontstaat. In deze gevallen kan de Poisson-verdeling nog steeds goed werken voor langere perioden, maar de exponentiële zal slecht mislukken bij het modelleren van aankomsttijden.

Merk ook op dat er een enorme variabiliteit is op basis van het tijdstip van de dag: drukker tijdens de reistijden; veel langzamer om 3 uur 's ochtends. Zorg ervoor dat uw lambda een afspiegeling is van de specifieke tijdsperiode die u overweegt.

#4
+4
Stuart Winter
2012-04-23 14:54:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

De Poisson-verdeling wordt normaal gesproken afgeleid van de binominale verdeling (beide discreet). Dit vind je op Wiki.

De Poisson-verdeling (discreet) kan echter ook worden afgeleid uit de exponentiële verdeling (continu).

Ik heb het bewijs toegevoegd aan Wiki (link hieronder):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

het verband tussen discreet en continu lag niet voor de hand, bedankt hiervoor!
Ik ben niet overtuigd door die wikipedia-oplossing.In het bijzonder omvatten berekeningen van hogere orde limieten voor integralen die '1-x-y'-termen bevatten, die ik (althans op dit moment) niet begrijp.Verder lijkt de term 'p (0; lambda)' van de auteurs niet hetzelfde antwoord te geven als de hier gebruikte integraal wordt vervangen door '1-int' waarbij 'int' een andere integraal is met limieten tussen '[0,1]`in plaats van '[1, + inf]'.Ik heb hier ongeveer een week aan gewerkt en heb niet veel vooruitgang geboekt.
#5
+1
Ben
2020-05-27 07:16:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Terwijl de andere antwoorden hier meer in detail ingaan op de uitleg, ga ik u een eenvoudige samenvatting geven van de vergelijking met betrekking tot een reeks exponentiële IID-variabelen en een gegenereerde willekeurige Poisson-variabele. Een willekeurige Poisson-variabele met parameter $ \ lambda > 0 $ kan worden gegenereerd door het aantal opeenvolgende gebeurtenissen in de tijd te tellen $ \ lambda / \ eta $ waarbij de tijden tussen de gebeurtenissen onafhankelijke exponentiële willekeurige variabelen zijn met rate $ \ eta $ . (Door $ \ eta = 1 $ in te stellen, kunt u op een eenvoudige manier een willekeurige Poisson-variabele genereren uit een reeks exponentiële willekeurige variabelen van IID-eenheden.)

Dit betekent dat als $ E_1, E_2, E_3, ... \ sim \ text {Exp} (\ eta) $ met tariefparameter $ \ eta>0 $ , en $ K \ sim \ text {Pois} (\ lambda) $ met tariefparameter $ \ lambda>0 $ dan heb je:

$$ \ mathbb {P} (K \ geqslant k) = \ mathbb {P} \ Big (E_1 + \ cdots + E_k \ leqslant \ frac {\ lambda} {\ eta} \ Big). $$



Deze Q&A is automatisch vertaald vanuit de Engelse taal.De originele inhoud is beschikbaar op stackexchange, waarvoor we bedanken voor de cc by-sa 2.0-licentie waaronder het wordt gedistribueerd.
Loading...